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高中数列课件:助力学生轻松掌握数列知识

高中数列课件(高中数列教材)

随着高考改革的推进,数学课程也发生了一些变化。高中数列是数学中的重要知识点之一,它不仅在高考中占据重要地位,还在后续的学习中有着广泛的应用。为了帮助学生轻松掌握数列知识,高中数列课件应运而生。

高中数列课件是一种以电子形式呈现的教学资料,通过动态的图示展示数列的特点、规律以及解题方法。课件将抽象的数列概念通过具体的示例进行讲解,帮助学生理解数列的定义和基本特征。课件通过动画演示数列的图像变化,直观地展示数列中的规律和趋势,帮助学生抓住数列的特点,从而更好地理解数列的性质和运算法则。课件还结合典型例题,通过详细的步骤解析和答题技巧指导,帮助学生掌握数列题的解题方法,提高解题效率。

高中数列教材是数列课件的基础,它包括了数列的基本概念、公式推导以及应用实例等内容。数列教材的内容丰富、体系完整,涵盖了高中数列知识的各个方面。教材中的例题涵盖了不同难度和类型的数列题目,有助于学生提升解题能力和应用能力。数列教材还提供习题和练习题,供学生巩固和拓展知识,培养数学思维和解题能力。

高中数列课件和教材的使用对学生的学习起到了积极的促进作用。它们以生动、直观的形式呈现数列知识,能够激发学生的学习兴趣,提高学习的效果。通过课件和教材的学习,学生可以更好地理解和掌握数列的概念和规律,提高数学解题的能力,为高考和日后的学习奠定坚实的基础。

高中数列课件和教材的出现为学生轻松掌握数列知识提供了有力的工具和支持。它们的应用能够激发学生的学习热情,提高学习效果,为学生的数学学习打下坚实的基础。相信通过高中数列课件和教材的学习,学生将能够更好地应对数列相关问题,取得优异的学习成绩。

高中数列课件(高中数列教材)

【 #课件# 导语】课件的选择要依据教学的内容、本人的教学风格、学生的理解和接受能力而定,以达到课堂教学效果化为准。好的课件像磁石,能把学生分散的思维一下子聚拢起来;好的课件又是思想的电光石火,能给学生以启迪,提高整个智力活动的积极性,为授课的成功奠定良好的基础。下面就由 无 为大家带来高中数学优质课件:《等差数列》,欢迎各位参考借鉴!高中数学优质课件篇一:《等差数列》 【教学目标】 1.知识与技能 (1)理解等差数列的定义,会应用定义判断一个数列是否是等差数列: (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程: (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力,体验从特殊到一般,一般到特殊的认知规律,提高熟悉猜想和归纳的能力,渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动,培养学生主动探索、用于发现的求知精神,激发学生的学习兴趣,让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中,使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生),经过一年的高中数学学习,大部分学生知识经验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性. ②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性. ③讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一:创设情境,引入新课 1.从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,得到的数列是什么? 2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位:m)组成一个什么数列? 3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个什么数列? 教师:以上三个问题中的数蕴涵着三列数. 学生: 1:0,5,10,15,20,25,…. 2:18,15.5,13,10.5,8,5.5. 3:10072,10144,10216,10288,10360. (设置意图:从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般,激发学生学习探究知识的自主性,培养学生的归纳能力. 二:观察归纳,形成定义 ①0,5,10,15,20,25,…. ②18,15.5,13,10.5,8,5.5. ③10072,10144,10216,10288,10360. 思考1上述数列有什么共同特点? 思考2根据上数列的共同特点,你能给出等差数列的一般定义吗? 思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗? 教师:引导学生思考这三列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出等差数列概念. 学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定. 教师引导归纳出:等差数列的定义;教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义. (设计意图:通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住:“从第二项起,每一项与它的前一项的差为同一常数”,落实对等差数列概念的准确表达.) 三:举一反三,巩固定义 1.判定下列数列是否为等差数列?若是,指出公差d. (1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1; (3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题. 注意:公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0. (设计意图:强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用). 2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1,该数列是等差数列吗?为什么? (设计意图:强化等差数列的证明定义法) 四:利用定义,导出通项 1.已知等差数列:8,5,2,…,求第200项? 2.已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何求出它的任意项an呢? 教师出示问题,放手让学生探究,然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导,总结推导方法,体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法. (设计意图:引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答,培养学生运算能力) 五:应用通项,解决问题 1判断100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项? 2在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求a1,d和an. 3求等差数列3,7,11,…的第4项和第10项 教师:给出问题,让学生自己操练,教师巡视学生答题情况. 学生:教师叫学生代表总结此类题型的解题思路,教师补充:已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式 (设计意图:主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.) 六:反馈练习:教材13页练习1 七:归纳 1.一个定义: 等差数列的定义及定义表达式 2.一个公式: 等差数列的通项公式 3.二个应用: 定义和通项公式的应用 教师:让学生思考整理,找几个代表发言,最后教师给出补充 (设计意图:引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面,沟通它们之间的联系,使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念,并灵活运用基本概念.) 【设计反思】 本设计从生活中的数列模型导入,有助于发挥学生学习的主动性,增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中,学生通过分析、观察,归纳出等差数列定义,然后由定义导出通项公式,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法,以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以相互补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率. 高中数学优质课件篇二:《等差数列》 [教学目标] 1.知识与技能目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。 2.过程与方法目标:让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习,培养学生分析问题解决问题的能力。 3.情感态度与价值观目标:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 [教学重难点]感 1.教学重点:等差数列的概念的理解,通项公式的推导及应用。 2.教学难点:(1)对等差数列中“等差”两字的把握; (2)等差数列通项公式的推导。 [教学过程] 一.课题引入 创设情境引入课题:(这节课我们将学习一类特殊的数列,下面我们看这样一些例子) (1)、在过去的三百多年里,人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星: 1682,1758,1834,1910,1986,() 你能预测出下次观测到哈雷慧星的大致时间吗?判断的依据是什么呢? (2)、通常情况下,从地面到11km的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。 思考:依据前面的规律,填写(3)、(4): (3)1,4,7,10,(),16,… (4)2,0,-2,-4,-6,(),… 它们共同的规律是? 从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数。 我们把有这一特点的数列叫做等差数列。 二、新课探究 (一)等差数列的定义 1、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。 (1)定义中的关健词有哪些? (2)公差d是哪两个数的差? 2、等差数列定义的数学表达式: 试一试:它们是等差数列吗? (1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10… (2)5,5,5,5,5,5,… (3)-1,-3,-5,-7,-9,… (4)数列{an},若an+1-an=3 3、等差中顶定义 在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列: (1)、2,(),4(2)、-12,(),0(3)a,(),b 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。 (二)等差数列的通项公式 探究1:等差数列的通项公式(求法一) 如果等差数列首项是,公差是,那么这个等差数列如何表示?呢? 根据等差数列的定义可得: 所以: 由此得, 因此等差数列的通项公式就是:, 探究2:等差数列的通项公式(求法二) 根据等差数列的定义可得: …… 将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:, 三、应用与探索 例1、(1)求等差数列8,5,2,…,的第20项。 (2)等差数列-5,-9,-13,…,的第几项是–401? (2)、分析:要判断-401是不是数列的项,关键是求出通项公式,并判断是否存在正整数n,使得成立,实质上是要求方程的正整数解。 例2、在等差数列中,已知=10,=31,求首项与公差d. 解:由,得。 在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。 巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a=()。 A.1B.-1C.-2D.2 2.一张梯子一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列。求公差d。 四、小结 1.等差数列的通项公式: 公差; 2.等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量; 3.判断一个数列是否为等差数列只需看是否为常数即可; 4.利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题. 五、作业: 1、必做题:课本第40页习题2.2第1,3,5题 2、选做题:如何以最快的速度求:1+2+3++100=

高中数学课件

【 #课件# 导语】课件设计和运用,一定要结合教学内容等多方面的客观条件,具体问题具体对待。做的得体,会收到意想不到的好效果,反之,则会事与愿违,如若枯燥乏味的课件必然会使学生失去学习兴趣,而精心设计好一个课件,因势利导,就能紧扣学生的活动心理,活跃其思维,增强其学习兴趣,从而大大提高学生的积极性。下面是 整理分享的高中数学优秀课件,欢迎阅读与借鉴。1.高中数学优秀课件 一、教学目标 【知识与技能】 在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径,掌握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。 【过程与方法】 通过对方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的的条件的探究,学生探索发现及分析解决问题的实际能力得到提高。 【情感态度与价值观】 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。 二、教学重难点 【重点】 掌握圆的一般方程,以及用待定系数法求圆的一般方程。 【难点】 二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。 三、教学过程 (一)复习旧知,引出课题 1、复习圆的标准方程,圆心、半径。 2、提问1:已知圆心为(1,—2)、半径为2的圆的方程是什么? 2.高中数学优秀课件 一、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握画三视图的基本技能 (2)丰富学生的空间想象力 2.过程与方法 主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。 3.情感态度与价值观 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 二、教学重点、难点 重点:画出简单组合体的三视图 难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、学法与教学用具 1.学法:观察、动手实践、讨论、类比 2.教学用具:实物模型、三角板 四、教学思路 (一)创设情景,揭开课题 “横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。 在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图),你能画出空间几何体的三视图吗? (二)实践动手作图 1.讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可交流结果并讨论; 2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图 (1)画出球放在长方体上的三视图 (2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图 学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图。 3.三视图与几何体之间的相互转化。 (1)投影出示图片(课本P10,图1.2-3) 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么? (2)你能画出圆台的三视图吗? (3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法。 4.请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流。 (三)巩固练习 课本P12练习1、2P18习题1.2A组1 (四)归纳整理 请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图 (五)课外练习 1.自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型,并画出它的三视图。 2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型,并画出它的三视图。 3.高中数学优秀课件 教学目标: 1、理解流程图的选择结构这种基本逻辑结构。 2、能识别和理解简单的框图的功能。 3、能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题。 教学方法: 1、通过模仿、操作、探索,经历设计流程图表达求解问题的过程,加深对流程图的感知。 2、在具体问题的解决过程中,掌握基本的流程图的画法和流程图的三种基本逻辑结构。 教学过程: 一、问题情境 情境: 某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为 其中(单位:)为行李的重量。 试给出计算费用(单位:元)的一个算法,并画出流程图。 二、学生活动 学生讨论,教师引导学生进行表达。 解算法为: 输入行李的重量; 否则; 输出行李的重量和运费。 上述算法可以用流程图表示为: 教师边讲解边画出第10页图1-2-6。 在上述计费过程中,第二步进行了判断。 三、建构数学 1、选择结构的概念: 先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构。 如图:虚线框内是一个选择结构,它包含一个判断框,当条件成立(或称条件为“真”)时执行,否则执行。 2、说明: (1)有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断,并按判断的不同情况进行不同的操作,这类问题的实现就要用到选择结构的设计; (2)选择结构也称为分支结构或选取结构,它要先根据指定的条件进行判断,再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条; (3)在上图的选择结构中,只能执行和之一,不可能既执行,又执行,但或两个框中可以有一个是空的,即不执行任何操作; (4)流程图图框的形状要规范,判断框必须画成菱形,它有一个进入点和两个退出点。 3、思考:教材第7页图所示的算法中,哪一步进行了判断? 4.高中数学优秀课件 一、教学目标 知识与技能: 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念。 过程与方法: 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写。 情感态度与价值观: 1、提高学生的推理能力; 2、培养学生应用意识。 二、教学重点、难点: 教学重点: 任意角概念的理解;区间角的集合的书写。 教学难点: 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写。 三、教学过程 (一)导入新课 1、回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 (二)教学新课 1、角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 ②角的名称: 注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α”或“∠α”可以简化成“α”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α=0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角。 ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 5.高中数学优秀课件 一、教学目标 【知识与技能】 掌握三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。 【过程与方法】 经历三角函数的单调性的探索过程,提升逻辑推理能力。 【情感态度价值观】 在猜想计算的过程中,提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 【教学重点】 三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。 【教学难点】 探究三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围过程。 三、教学过程 (一)引入新课 提出问题:如何研究三角函数的单调性 (四)小结作业 提问:今天学习了什么? 引导学生回顾:基本不等式以及推导证明过程。 课后作业: 思考如何用三角函数单调性比较三角函数值的大小。

数列求和课件

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高中数学数列大题50题

数列按一定次序排列的一列数叫数列。记作,即a1, a2, a3,……。我们称a1为数列的“第一项”,a2是“第二项”,等等。数列中数的总数为数列的“项数”,项数有限的数列为“有限数列”,项数无限的数列为“无限数列”。特别地,数列是一种特殊的函数,它的自变量为自然数。著名的数列

有等差数列、等比数列、斐波那契数列、大衍数列等。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。 等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为:

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。 在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项。,且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。和=(首项+末项)*项数÷2

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项-首项)/公差+1二、等比数列

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)

(2)前n项和公式是:Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)

且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

(4)若m,n,p,q∈N*,则有:ap·aq=am·an,

等比中项:aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质:

①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq;

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意:上述公式中A^n表示A的n次方。三、斐波拉契数列

■斐波拉契数列的简介

斐波拉契数列(又译作“斐波那契数列”)是一个非常美丽、和谐的数列,它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明(如右词条图),起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1,在它左边的那个正方形的边长也是1 ,在这两个正方形的上方再放一个正方形,其边长为2,以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和,它们正好构成了斐波那契数列。“斐波那契数列”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年。籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。斐波那契数列指的是这样一个[font color=#800080]数列[/font]:1,1,2,3,5,8,13,21……

这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根) (19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)很有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。 ■斐波拉契数列的出现13世纪初,欧洲最好的数学家是斐波拉契;他写了一本叫做《算盘书》的著作,是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题,其中最有趣的是下面这个题目: “如果一对兔子每月能生1对小兔子,而每对小兔在它出生后的第3个月裏,又能开始生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的兔子开始,1年后能繁殖成多少对兔子?”

斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串:1,1,2,3,5,8…… 这串数里隐含着一个规律:从第3个数起,后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律,只要作一些简单的加法,就能推算出以后各个月兔子的数目了。 于是,按照这个规律推算出来的数,构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的的性质,从第3个数起,每个数与它后面那个数的比值,都很接近于0.618,正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现,连一些生物的生长规律,在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。

■斐波拉契数列的来源及关系

斐波拉契(Fibonacci)数列来源于兔子问题,它有一个递推关系,

f(1)=1

f(2)=1

f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2

{f(n)}即为斐波拉契数列。

■斐波拉契数列的公式

它的通项公式为:{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n }/√5 (注:√5表示根号5)

■斐波拉契数列的某些性质

■1),f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;

■2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1

■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)][font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列的存在】[/font][/font]

甚至可以说,斐波拉契数列无处不在,以下仅举几条常见的例子

■1.杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列 .

■2.多米诺牌(可以看作一个2×1大小的方格)完全覆盖一个n×2的棋盘,覆盖的方案数等于斐波拉契数列。

■3. 从蜜蜂的繁殖来看,雄峰只有母亲,没有父亲,因为蜂后产的卵,受精的孵化为雌蜂,未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时,发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。

■4.钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似,说明音调也与斐波拉契数列有关。

■5.自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列,也就是说在大多数情况下,一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变)。

■6.如果一根树枝每年长出一根新枝,而长出的新枝两年以后,每年也长出一根新枝,那么历年的树枝数,也构成一个斐波拉契数列 .[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列与黄金分割】[/font][/font]斐波拉契数列与黄金分割有什么关系呢?经研究发现,相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由于斐波拉契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的.[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契数列的变式】[/font][/font]

■1.帕多瓦数列:1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,……这样的数列称为帕多瓦数列。它和斐波拉契数列非常相似,稍有不同的是:每个数都是跳过它前面的那个数,并把再前面的两个数相加而得出的。这个数列可以用另一幅图来表示,它是由一些等边三角形构成的(如右图)。开始的三角形用灰色表示,为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起,头三个三角形的边长均为1,其后的两个三角形的边长为2,然后依次是3、4、5、7、9、12、16、2l……等等。■2.冬冬有15块糖,如果每天至少吃3块,吃完为止,那么共有多少种不同的吃法?如果冬冬有3块糖、4块糖或者5块糖,都只有1种吃法;如果有6块糖,则有2种吃法;如果有7块糖,则有3种吃法;如果有8块糖,则有4种吃法;如果有9块糖,则有6种吃法.既:吃糖的粒数:3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...糖的吃法:1 1 1 2 3 4 6 9 13 19...这样的数列,它和斐波拉契数列不同的是,每次都是跳过中间的那个数,再把第1、3两个数相加,等于第4个数。它的规律和斐波拉契数列既相似之处又有不同之处.■3.小明要上楼梯,他每次能向上走一级、两级或三级,如果楼梯有10级,他有几种不同的走法?这里我们不妨也来研究一下其中的规律:如果楼梯就一级,他有1种走法;如果楼梯有两级,他有2种走法;如果楼梯有三级,他有4种走法;如果有五级楼梯,他有7种走法.既:楼梯的级数:1 2 3 4 5 6 7 8 ...上楼梯的走法:1 2 4 7 13 24 44 81...这其中的规律就是,这里从第4个数开始,每一个数都等于它前面的3个数之和。 [font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【该数列有很多奇妙的属性】[/font][/font]比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… (后一项与前一项之比1.6180339887…… )

还有一项性质,从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。如果任意挑两个数为起始,比如5、-2.4,然后两项两项地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你将发现随着数列的发展,前后两项之比也越来越逼近黄金分割,且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波那契数列别名】[/font][/font]斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:

第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;

两个月后,生下一对小兔民数共有两对;

三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;

------

依次类推可以列出下表:

经过月数:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

兔子对数:1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

表中数字1,1,2,3,5,8---构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为:an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....)[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波那契数列通项公式的推导】[/font][/font]斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式:

F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一:利用特征方程线性递推数列的特征方程为:

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2

解得C1=1/√5,C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根)通项公式的推导方法二:普通方法设常数r,s

使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

则r+s=1, -rs=1n≥3时,有

F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

……

F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]将以上n-2个式子相乘,得:

F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

∵s=1-r,F(1)=F(2)=1

上式可化简得:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么:

F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)

……

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)

= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)

(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的[font color=#800080]等比数列[/font]的各项的和)

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}四、大衍[font color=#800080]数列[/font]

大衍[font color=#800080]数列[/font],来源于《乾坤谱》中对易传“[font color=#800080]大衍之数[/font]五十”的推论。0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------(n*n-1)/2(n为奇数)、n*n/2(n为偶数)

高中数列教材

数列是高中数学必修五的内容。

“数列”的主要内容是数列的概念与表示,等差数列与等比数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系。

感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。教科书还通过在“阅读与思考”中介绍“九连环”问题。

以及在“探究与发现”中设计“购房中的数学”,使学生进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。扩展资料

一、数列的函数理解:

1、数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

2、用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法。

a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

2、函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。

二、公式:

1、通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如 。数列通项公式的特点:有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一;有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。

2、递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点:有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。有些数列没有递推公式,即有递推公式不一定有通项公式。

参考资料来源:百度百科-高中数学必修5

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