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二次函数是高中数学中的一个重要内容,它在数学中具有广泛的应用。在学习二次函数的过程中,我们需要了解三种不同的表达式形式:一般形式、顶点形式和因式分解形式。

二次函数课件,二次函数三种表达式总结

一般形式的二次函数表达式为:y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数。这是最常见的表达形式,通过此表达式我们可以了解到二次函数的系数及常数项。系数a决定了函数开口的方向(a>0时开口向上,a<0时开口向下),系数b决定了函数在x轴上的位置(正值时右移,负值时左移),常数c决定了函数与y轴的交点。

顶点形式的二次函数表达式为:y = a(x-h)^2 + k,其中a、h、k为常数,(h,k)为顶点坐标。这个形式的表达式更加简洁,通过顶点坐标我们可以直观地看出函数的最值、对称轴及开口方向。顶点形式的表达式也可以快速确定二次函数的图像。

因式分解形式的二次函数表达式为:y = a(x-p)(x-q),其中a、p、q为常数,p、q为函数的根(零点)。这个形式的表达式将二次函数分解为两个一次因式相乘的形式,能够帮助我们更加方便地求解函数的根。

通过了解并掌握这三种表达式形式,我们可以更加灵活地应用二次函数来解决实际问题。无论是求解函数的最值、确定函数的开口方向、对称轴和顶点,还是求解函数的根,这些表达形式都能够提供重要的线索。

在学习二次函数的过程中,我们需要通过实际例题来巩固理论知识,并通过练习与实践提高解题能力。我们还可以利用课件、视频等多媒体工具来辅助学习,帮助我们更好地理解和掌握二次函数的概念和应用。

二次函数的三种表达式形式:一般形式、顶点形式和因式分解形式,为我们解决实际问题提供了便捷的工具。通过学习和掌握这些表达形式,我们能够更好地应用二次函数知识,提高数学解题的能力。多媒体教学工具也为我们提供了更加直观的学习方式,有助于加深对二次函数的理解。

二次函数课件,二次函数三种表达式总结

二次函数、二次方程及二次不等式的关系重难点归纳

1 二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法

y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n

(2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)

若- 0时,f(α)0时,二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立或

(4)f(x)>0恒成立典型题例示范讲解

例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)

(1)求证 两函数的图象交于不同的两点A、B;

(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围

命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力

知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合

错解分析 由于此题表面上重在“形”,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”

技巧与方法 利用方程思想巧妙转化

(1)证明 由 消去y得ax2+2bx+c=0

Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ c2]

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点

(2)解 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=- ,x1x2=

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c-a-c>c,解得 ∈(-2,- )

∵ 的对称轴方程是 ∈(-2,- )时,为减函数

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( )

例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围

(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围

命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题

知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义

错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点

技巧与方法 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制

解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得∴ (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组(这里0<-m<1是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内通过)

例3已知对于x的所有实数值,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求关于x的方程 =|a-1|+2的根的取值范围

解 由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- ≤a≤2

(1)当- ≤a<1时,原方程化为

x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+

∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax=

∴ ≤x≤

(2)当1≤a≤2时,x=a2+3a+2=(a+ )2-

∴当a=1时,xmin=6,当a=2时,xmax=12,∴6≤x≤12

综上所述, ≤x≤12

二次函数五大性质

二次函数的五大性质如下:

1、开口方向:a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

2、顶点坐标:(0,0)a>0时,(0,0)为最低点;a<0时,(0,0)为最高点。

3、对称轴:y轴(直线x=0)。

4、增减性:当a>0,且x>0或a<0,且x<0时,y随x的增大而增大(同增);当a>0,且x<0或a<0,且x>0时,y随x的增大而减小(异减)。

5、最值:当a>0,且x=0时,y有最小值0;当a<0,且x=0时,y有最大值0。顶点式

y=a(x-h)+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同,当x=h时,y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。

解:设y=a(x-1)+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)+2。

注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。当h>0时,y=a(x-h)的图像可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。

当h>0时,y=a(x+h)的图像可由抛物线y=ax向左平行移动h个单位得到。

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)+k的图像。

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax向左平行移动h个单位,再向下移动k个单位,就可以得到y=a(x+h)-k的图像。

当h<0,k>0时,将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图像。

当h<0,k<0时,将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图像。

初中二次函数笔记整理

作为初中数学重难考点之一,二次函数一直被很多同学头疼。下面我就整理了初中二次函数知识点,供大家参考。 1、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),如:y=2x2+3x+4; 2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),如:y=2(x-5)2+3; 3.两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标),如:y=2(x-1)(x+3). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化。 2、常见二次函数的图像与性质 3、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c; y=a(x-h)2+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k; 2.关于y轴对称 y=ax2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c; y=a(x-h)2+k关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)2+k; 3.关于原点对称 y=ax2+bx+c关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax2+bx-c; y=a(x-h)2+k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x+h)2-k; 4.关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) y=ax2+bx+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx+c-(b2/2a); y=a(x-h)2+k关于顶点对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k 5.关于点(m,n)对称 y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后,得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k; 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此|a|永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式。 4、用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。

二次函数三种表达式总结

二次函数的三种表达式分别如下:

1、一般式:y=ax+bx+c(a≠0,a 、b、c为常数),则称y为x的二次函数。

2、顶点式:y=a(x-h)+k(a≠0,a、h、k为常数)。

3、交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2为常数)。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。误区提醒

(1)对二次函数概念理解有误,漏掉二次项系数不为0这一限制条件。

(2)对二次函数图像和性质存在思维误区。

(3)忽略二次函数自变量取值范围。

(4)平移抛物线时,弄反方向。

(5)b和a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)。

二次函数经典例题20题

已知抛物线y=2x2-4mx+

m2

的顶点D在双曲线y=8/x上。(1)求顶点D的坐标;(2)设抛物线与x轴的两交点为A、B,与y周的交点为C,试求四边形DACB的面积

(1)过程在你另外个地方偶已经说明

D为(2,-4)

(2)

因为m=2,所以

y=2x2-4mx+

m2

=2x^2-8x+4

当Y=0,得出A,B坐标

即0=2x^2-8x+4,得出A,B坐标为(2-√2,0),(2+√2,0),

当x=0时求出c坐标

c容易得出为(0,4)

这时你画图可以很简单的看出四边形DACB为两个三角形组成

即ABC,ABD,而他们的边是共边,高度一样,所以面积也一样,所以最后的面积也很好求,即

AB边为2+√2-(2-√2)=2√2,高度为4

面积为2*((2√2)/2)=2√2

其中(2√2)/2表示其中一个三角形的面积

呵呵,希望你已经自己做出来了哦

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